Universal Generating Function 01_201612

Universal Generating Function 01

 어떤 기기들의 신뢰도를 평가하려는 노력은 예전부터 많이 진행되었다. 그 결과물로 다양한 신뢰도 평가 방법론이 등장을 하게 되었다. Fault Tree Analysis (FT), Master Logic Diagram (MLD), Binary Decision Diagram (BDD), Reliability Block Diagram (RBD) 등이 대표적인 신뢰도 평가 방법론이라 할 수 있다. 그런데 지금 이야기할 Universal Generating Function 방법은 앞의 방법들과는 다른 특징을 가지고 있다. FT, MLD, BDD 와 같은 기존의 신뢰도 평가 방법론은 기기의 성공 실패 두가지로 나누어 신뢰도를 분석하지만, UGF는 Multi-State에 대한 분석이 가능하다. 이 말은 기존에는 부품의 정상 작동, 고장 두가지에 대해서만 분석할 수 있었던것이, 부품의 100%동작, 80%동작, 60%동작등 다양한 상태를 분석할 수 있는 것이다. Multi-state 분석이 가능하다는 점 덕분에, 일정한 양 이상 들어왔을때 성공/실패를 구분하는 Network의 신뢰도 평가방식에서 자주 쓰인 방법중 하나이다. Gregory Levitin의 The Universal Generating Function in Reliability Analysis and Optimization을 읽고 앞으로 정리를 해보려고 한다.

1. Mathematical Backgrounds

1.1. z-transformation

 z변환은 신호처리 분야에서 자주 사용되는 기법중 하나이다. 이산적인 signal이 있을때 이를 time domain에서 frequency domain으로 바꾸는데 사용된다. 신뢰도 분석 분야에서는 위에서 말한 signal processing 기법 용도가 아닌, 확률분포를 z transform 하여 component의 상태를 표현하고 다루기 위해 수행한다. 먼저 어떤 이산적인 확률분포 (p.m.f)가 있다고 하자. 이를 전 구간에 대해 더하면 확률의 기본 성질에 의해 1이 될 것이다. (Eq.1)

 확률분포에 z transformation을 수행하기 전에, 이제 앞으로 쓸 변수들을 정의해놓자. 는 i번째 component가 가질수 있는 상태를 의미한다. 예를들어, 는 '첫번째 component가 1의 상태를 가진다' 라는 의미이다. 역시 비슷한 의미이다. 이는 i번째 component가 j의 상태를 가질 확률값을 의미한다. 이제 재료가 모였으니 확률변수에 상태를 부여하는 z transformation을 수행해보자. z transform이란 원래의 기본 함수에 을 곱해주는 것으로 수행된다. 따라서 어떤 i번째 component의 확률값이 주어졌을때, 이를 z transformation한다면 Eq.2와 같이 표현될 것이다.

1.2 Composition Operator

 이제 대상이 되는 system의 구조에 맞게 여러가지 연산을 하는 방법에 대해 알아보자. Composition operator를 사용 system의 구조에 맞는 연산을 수행할 수 있다. 일단 먼저 Composition operator의 연산을 정의해보고, 쉬운 예시를 통해 어떻게 실제에 적용할 수 있는지 알아보기로 하자.

 기본적으로, z transformation 간의 곱은 다음과 같은 방법으로 이루어진다. (Eq.3)

 Composition operator는 기본적으로는 z transformation의 곱과 유사하다. 다른점은, z의 지수가 단순 합이 아닌 어떤 특정한 함수 f로 묶인다는 것이다. Composition operator의 연산은 Eq.4와 같이 이루어진다.

 위와 같은 연산방법을 같는 composition operator는 분배법칙, 결합법칙이 성립하는 특징을 가진다.

 이제 기본적인 방법에 대해 알았으니, 실제 시스템의 분석에 사용해보자!

1.3 Example: Each component has 0.9 as success probability and 0.1 as failure probability

 가장 처음의 설명에서 Universal Generating Function이 MSS (Multi-state system)을 분석할 수 있다고 하였지만, 기본의 이해를 위해 고장, 성공 두가지 경우만을 가지는 Component들에 대해 system의 reliability를 구해보도록 하자. 각각의 기기들은 성공확률이 90% 실패확률이 10%이고, A component와 B component는 서로 병렬연결, C와는 직렬로 연결되어 있다고 하자.

 먼저 Bayesian Network를 이용한 계산결과 값은 아래와 같다.

 System의 고장확률은 10.9%, 성공확률은 89.1%라는 결과를 얻었다. 이를 이번에는 Universal Generating Function을 이용해 구해보도록 하자. 

 먼저 각 component들의 u-function을 정의해보자. 각각의 성공확률이 90% 실패확률이 10%, 성공상태를 1 실패상태를 0이라 한다면 A,B,C Component들에 대한 u-function은 Eq.5와 같을 것이다.

 이제 기본 재료를 만들었으니 연산을 해보도록 하자. 먼저 A와 B사이의 연산을 수행하자. A와 B는 서로 병렬관계이므로, 둘중 하나만 정상적으로 작동을 해도 된다. 따라서 composition operator로는 둘중 Max값을 취하는 operator를 사용하도록 하자. 연산 과정 및 결과는 Eq.6과 같다.

 얻은 결과를 이용 C와도 마저 연산을 해보도록 하자. C와의 관계는 직렬이므로, 둘중 하나만 고장이 나더라도 고장나게된다. 따라서 이번에는 Composition operator로 둘중 Min값을 취하는 operator를 사용해야 한다. 연산과정 및 결과는 Eq.7과 같다.

Universal Generating Function 방법을 이용했을때의 결과 역시, 고장확률 10.9%, 성공확률 89.1% 동일한 결과를 나타냄을 볼수 있다.

 이번 글에서는, 기본적인 연산방식과 Mathematical background에 대해 알아보았다. 이후에는 다양한 신뢰도 분석 상황에 따른 UGF활용 방법에 대해 알아보도록 하겠다.