Sampling과 Nyquist Frequency_201612

 신호를 잘 sampling 하기 위해서는 흔히들 들어오는 신호의 주기 (Input Frequency)가 Nyquist Frequency보다 작아야 한다고 한다. 본문에서는 Nyquist Frequency가 무엇인지에 대해 확인해보고 왜 Input Frequency가 Nyquist Frequency보다 작아야 하는지 정리하도록 하겠다.

 먼저, Nyquist Frequency는 계측기가 가지는 sampling frequency의 절반 값으로 정의된다. 수식으로 표현하면 Eq.1과 같다.

 그렇다면 이제 왜 Input Frequency가 Nyquist Frequency보다 작아야 하는지 확인해보자. 이를 직관적으로 이해할 수 있도록 신호와 sampling을 MATLAB을 이용하여 표현해 보았다. 몇가지 예시에 대해 확인해 보면 아마 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

1. 계측기의 Sampling frequency: 50Hz, Input frequency: 10Hz, Time intercal: 1sec (Nyquist Frequency=25Hz>Input Frequency=10Hz)

위 그림에서 O로 표시된 포인트는 계측기가 sampling을 한 지점을 의미한다. 그리고 파란선은 Input Signal, 주황선은 Sampling된 지점을 이어 만든 signal이다. 위 그림에서 주황선은 파란선을 잘 모사함을 확인할 수 있다. 즉 Nyquist Frequency>>Input Frequency 의 경우에서는 계측기가 input signal의 Frequecy및 Magnitude를 잘 잡아내는 것을 확인할 수 있다.

2. 계측기의 Sampling frequency: 50Hz, Input frequency: 23Hz, Time intercal: 1sec (Nyquist Frequency=25Hz>Input Frequency=23Hz)

여전히 Nyquist Frequency>Input Frequency인 상황이다. 하지만 이번경우에는 그 차이를 조금 좁혀 보았다. 결과는 다음과 같다.

위 그림을 확인해 보면 실제 파형과는 조금 다르지만, Frequency는 알맞게 찾고 있는것을 확인 할 수 있다. Nyquist frequency 와 input signal frequency의 차이가 줄어드니 계측결과에서 magnitude가 왜곡되는 현상이 발생한다.

3. 계측기의 Sampling frequency: 50Hz, Input frequency: 40Hz, Time intercal: 1sec (Nyquist Frequency=25Hz<Input Frequency=40Hz)

이번에는 Nyquist Frequency<Input Frequency 인 상황이다. 이 때의 결과는 다음과 같다.

위 그림을 확인해 보면 계측기가 실제 Signal이 아닌 아예 다른 주기를 갖는 함수를 그리고 있음을 알 수 있다. 이제는 아예 Input signal 의 frequency마저 확인할 수 없게 되었다. 

4. 계측기의 Sampling frequency: 50Hz, Input frequency: 50Hz, Time intercal: 1sec (Nyquist Frequency=25Hz<Input Frequency=50Hz)

이번에는 2*Nyquist Frequency=Input Frequency인 상황이다. 이 때의 결과는 다음과 같다.

이제는 아예 이상한 결과를 내놓고 있음을 알수 있다.

 위의 결과들에서 Nyquist frequecy보다 Input frequency가 작으면 작을수록 더 좋고 더 잘맞는 결과를 내놓게 되는것을 확인할 수 있었고, Nyquist frequency가 Input frequency보다 작아지게 되면 실제 input frequency와는 다른 결과를 계측기에서 결과라 내놓게 되는 것도 확인할 수 있었다.

이렇게 실제와는 다른 frequency를 alias frequency라 하며, 계측을 할때 aliasing 효과를 없애려면 반드시 Input signal 보다 Nyquist frequency 커야한다.

<설명 추가>

혹시라도 테스트에 사용하려고 짠 simulation 스크립트 (.m file) 이 필요하신분은 알려주시면 확인하겠습니다.